正整数集包括什么(自然数集包括什么)-亚博安卓下载

正整数集合:大于0的整数,包括从1开始的所有自然数.
整数集合:包括所有小于0的负整数、0、大于0的正整数.

自然数包括正整数和零。自然数是整数,但整数不全是自然数,例如:-1 -2 -3……是整数,而不是自然数。自然数是无限的。

0是不是自然数这个问题有争议,至少上百年了。我们结合这11篇文章,先看看各种反方和正方的观点和表述,再来了解一下现在的最新情况。

一、反方:0不是自然数。

1、一些数学史家:

通常情况下,自然数是在自然状态中数出来的。没文字前,原始人打猎、采苹果需要计数,先用石头表示,摘一个苹果放一块石头,慢慢演变出数字,1、2、3……,最初没有“0”。【1】

再后来,到公元600多年,印度数学家婆罗摩笈多才真正提出了的0的概念。不过,他之所以需要0,很大程度上是因为他需要把数扩展到负数,一旦扩展到负数,就不得不规定一个0作为正数和负数的分界点。

一种观点认为,0作为一个数字来使用,是跟随负数一起出现的,比正整数的使用要晚很多很多,所以0应该跟负整数站一队,而自然数应该只有正整数。【2】

2、皮亚诺(最初):

他在1889年发表的《算术原理新方法》中提出了定义自然数的九个公理,史称皮亚诺公理:

(上图来自微信号:马同学图解数学)【3】

2、范因:

而在我国流传甚广的《范氏大代数》的第一编i,则明确提出:所谓“自然数”就是用符号1,2,3,…分别表示并被称之为“一”,“二”,“三”,…的数。【4】

3、一些数论学家

(顺藤摸瓜注:不除外是在探讨数论等问题时):

而其他一些数学家,主要是数论学家,则依从传统把零拒之于自然数之外。《华罗庚文集》中就定义“自然数为,1、2、3、4……”。“【1】

数论学派,他们是不承认0是自然数的。譬如数论专家单墫教授的《趣味数论》就是如此。现在重印,为了符合目前中小学的规定,但编辑又要尊重单墫教授的原意,所以只能加注。

(上图来自微信号:彭翕成讲数学)【5】

4、格列本卡:

1949年中华人民共和国成立后,欧美的一些主要国家联合起来,对我国实行经济封锁。导致我国与原苏联订立“中苏友好互助同盟条约”,并且提出“向苏联学习”的口号。许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本编译的。m·k格列本卡著高等学校教学用书《算术》p6中明确指出:数树上的苹果时,可能某一棵树上一个苹果也没有。这时我们就说这棵树上的苹果数目为0。0就是没有东西可以数。0作为一个数,不属于自然数。于是,“0不是自然数”的判断在中小学数学课程中广为传播。【6】

5、现代生活的少数地方:

现代生活中还有很多不承认0是最小自然数的现象,典型的就是中国的楼层编码,地面一层为1楼,往上就是2楼,3楼……,但是往下到地下层,就是-1,-2层了,0层是不存在的。这样的现象说明,即使已经承认和使用负数了,人们依然回避使用0,这个现象也发生在公元纪年方法上,“公元元年”实际上是公元1年,第二年就是公元2年了,公元元年前一年,就叫公元前1年,公元0年是不存在于历法里面的。【7】

二、正方:0是自然数。

1、皮亚诺与集合论:

皮亚诺最初规定自然数从1开始的,后来又规定自然数从0开始。这是为什么?其原因在于:自然数从1开始,算术公理体系将无法定义出0;如果定义不出0,则无法定义相反数,进而无法定义负整数;如果定义不出负整数,则无法通过加法的逆运算定义出减法。因此,如果没有0,自然数集合就不可能在公理化结构下扩张为整数集合。由此可见,0对于加法运算是非常重要的。【4】

张奠宙:0是自然数有许多理由。首先,人的经验是从无到有的。第二,书写的需要,没有0,写不出10、20……;第三,0的出现可以保证自然数集有单位元a 0=0 a=a。如果0不是自然数,5-5岂不是不能减了。大数学家冯若依曼用集合论的语言写自然数,第一个是空集?,用0表示,然后把以空集为元素的集合{?}叫做1。从文化的角度看,“有”也是从没有开始的。老子《道德经》说:“道生一,一生二,三生万物”。“一”是由“道”这种虚无的存在而产生的。——摘自唐彩斌《思想改变课堂》【9】

另一种观点则认为,从本质来看0和正整数更相似,而且在很多领域(如集合、逻辑以及计算机科学等)中,把0和正整数放在一起更方便。举个例子,集合里面0代表空集,一个集合可以是空的(有0个元素),也可以有1个、2个、3个……元素,但不能有负数个元素。【2】

3、逻辑:

逻辑学家继承了上述集合论的观点。【10】

4、计算机:

把“0作为自然数”这个概念传递给中小学生,应该和计算机发展有很大的关系。使用计算机编程时,需要用计算机语言写代码,计算机语言“二进制码”就是由两个基本字符“0”、“1”组成的代码,“0”在计算机中的重要性不言而喻。计算机科学家通常将“0”放在数字的第一位,方便编码及运算。“很多孩子从小学阶段开始学习计算编程,0作为自然数的概念变得更重要。”【1】

在计算机中,0和正整数采用的是同一种表示方法,而表示负整数则需要取反补码。【2】

5、群论:

如果自然数从1开始,结合上加法,那么满足封闭性和结合性,此时定义出来的自然数是一个半群。增加加法的单位元,此时定义出来的自然数是一个幺半群,自然数需要从0开始。增加加法的逆元,可以得到整数,这是一个完整的群。这大概是一部分数学家支持自然数包含0的主要原因。【3】

6、其他:

那么iso为什么要修改自然数的定义?原因有三。首先,自然数是数学体系中最基础的概念,而0是10个基本计数符号之一。基本计数符号不包含在最基础的入门观念里,怎么都有点说不过去。其次,0在加法运算中具有不变性,而不变性是现代数学最重要的观念之一,有必要体现在任何数学概念里。最后,带余除法是自然数基本运算法则之一,如果没有0就无法完整解释带余除法。【11】

vita哥哥也提供了他的一个观点,他说0和正数一样都可以开平方,而负数则不能开平方,除非借助i(虚数),所以0应该跟正数放在一起。【2】

三、经过专家们的多年讨论,目前支持“0是自然数”的观点总体上占上风,表现在:

1、iso国际标准:

1992年,iso发布了国际标准iso31:1992,其中对数学标志与符号的写法和含义做出了明确的规定。

在这个标准中,对自然数n的定义是“自然数集,正整数和0的集(thesetofnaturalnumbers,thesetofpositiveintegersandzero)”,注释中还给出了例子:

(上图来自微信号:周花卷)【2】

2、中国国标:

我国为了实行对外开放便于国际交流,在科技与教育上和国际接轨,在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(gb3100-3102-93)《量和单位》(11-29)第311页,规定:自然数包括0。

1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为n={0,1,2,3……}。而将原来自然数集称为非0自然数集n ={1,2,3……}。【6】

3、小学课本:

我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法,认为0不是自然数。2000年教育部召开教材改编会议时,已明确提出将0归为自然数。2000年之后,苏教版数学教材修订中,已经将0归为自然数了。2005年左右,我国各种版本的中小学教材都将0归入了自然数中。【1】

数学教育学家也认识到将0作为自然数的重要性,所以近年小学教科书也将0明确列为自然数了。然而,仅仅是一个考试知识点而已,课本并没有把为什么要把0作为自然数的理由说清楚,再实际的生活应用中,文化的惯性是巨大的,0被作为最小的序数这个意义上的自然数使用,还是不普及的,电梯的编码就是一个例子。

0属于自然数,这个并不是一个简单的规定,一个需要死记硬背的知识点,它是严谨的数学逻辑演绎的结果,也是数学应用优化的要求。【7】

参考文献:

1、《“0不是自然数”?那你不年轻了》,微信号:勤学;作者:蔡蕴琦

2、《数学|困扰多年的疑问:0到底是不是自然数?》,微信号:周花卷;作者:周花卷

3、《自然数到底是否包括「0」?》,微信号:马同学图解数学;作者:马同学

4、《为什么以前规定“0不是自然数”,现在又规定“0是自然数”?》,微信号:瑞雪玉凝;摘自《小学数学疑难问题研究》,金成梁编著

5、《0是不是自然数?—用数学的语言看世界》,微信号:彭翕成讲数学;作者:彭翕成

6、《为什么以前规定“0不是自然数”,现在又规定“0是自然数”?》,微信号:小数百草园;作者:倪健

7、《陈诗峰:刘秀阳寿问题—-谈0是否属于自然数》,微信号:君君文集;作者:陈诗峰

8、《阅读《数学思想18讲》读书笔记1》,微信号:数学人的精神乐园;作者:范改芳

9、《“0”为什么是自然数?》,微信号:数学加油站;作者:王旭程

10、《为什么自然数是0、1、2、3……这些,能不能有别的?》,微信号:哆嗒数学网;作者:哆嗒数学网

11、《0到底是不是自然数?》,微信号:闲着好歹也是闲着;作者:闲着也是闲着

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